朱文俊①ZHUWen-jun；聂雨薇②NIEYu-wei；张宁②ZHANGNing
（①南京邮电大学海外教育学院，南京210023；②南京师范大学教师教育学院，南京210046）
（①SchoolofOverseaEducation,NanjingUniversityofPostsandTelecommunications，Nanjing210023，China；
②CollegeofTeacherEducation，NanjingNormalUniversity，Nanjing210046，China）
摘要：通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，但是由于地基变形等原因，罐体会发生横向和纵向的偏斜。本文建立了数学模型对罐容量进行了重新标定。在小椭圆储油罐中，对油罐中油的形状进行了分类讨论。研究探讨了罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系，通过模拟结果发现实验值与观察值的结果相关性很高（相关系数超过0.99）。
Abstract:Usuallythereareseveralundergroundstoragetankstostorefuelingasstations,andthereisamatched"Oillevelmeasurementmanagementsystem".Butduetogrounddeformationandotherreasons,horizontalandverticaldeflectionofthetankswillhappen.Thispaperestablishesamathematicalmodeltocalibratethetankcapacityagain.Insmallellipsestoragetank,thedifferentshapesoftheoilinthetankarediscussed.Thegeneralrelationshipbetweentankcapacityandoillevelheightanddisplacementparameters(longitudinalangleαandlateraldeflectionangleβ)isdiscussed.Thesimulationresultshowsthatthereisahighcorrelationbetweentheexperimentresultandobservationresult(thecorrelationcoefficientisover0.99).
关键词 ：储油罐；变位识别；罐容表
Keywords:storagetanks；deflectionidentification；tankcapacitytable
中图分类号：TQ018文献标识码：A文章编号：1006-4311（2015）21-0170-03
1问题重述
1.1问题背景
虚道储油罐在使用一段时间以后，由于地基变形等原因，罐体的位置会有纵向和横向的偏转，就会导致罐容表的失准。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
1.2要解决的问题
①为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，分别对罐体无变位和有倾斜角的纵向变位两种情况做了实验。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
②对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。
2问题分析
油罐未倾斜时，油浮子运动轨迹与液面垂直，因此测量值油面高度h就是真实液面高度。这时罐内石油形状比较规则，是一个柱体，体积容易计算，只需利用微积分知识对其进行简单的切片法进行计算。
当油罐倾斜时，油浮子运动轨迹与液面不再垂直，液面深度变成一个变值，可用测量值高度h和角进行转化。对于油罐倾斜时的体积计算需要分类进行讨论。
3模型假设
①假设罐内液体无挂壁现象。②假设罐体是光滑规则的。③不考虑罐体厚度的影响，所算得体积即为容积。④不考虑压强、温度等影响。
4符号说明
4.1问题一的符号说明
h~油位高度；
l1~油浮子距离储油罐左端的距离；
l2~油浮子距离储油罐右端的距离；
H~油面上任意一点到油罐底部的垂直距离；
α~纵向偏移角。
4.2问题二符号说明
h~油位高度（只考虑α的影响）；
h′~油位高度（只考虑α和β的影响）；
l1~油浮子距离储油罐左端球冠体底面的距离；
l2~油浮子距离储油罐右端球冠体底面的距离；
H~油面上任意一点到油罐底部的垂直距离；
α~纵向偏移角；
β~横向偏移角。
5模型的建立与问题的求解
这个问题实质上就是体积的计算，对不规则图形的体积计算需要用到微积分中微元法的思想。计算体积可以转化为对空间区域三重积分的计算，而对于这一类图形比较复杂，界面的形状可以列出表达式得情形，“先二后一”法，也就是切片法的运用就可以简化计算。下面的两个模型都用到了这个方法。
5.1模型一：无变位模型
无变位状态下的液体形状比较规则，无需太多讨论，直接可以利用微积分算出其体积。
水平放置的油罐的示意图如图1。
液面的横截面图（图2）。
椭圆方程为
6结论
本文中的模型主要利用微积分知识分析了两端为球冠的实际储油罐的状态，对其内不同位置状态的石油体积进行了进一步的分类讨论，得到了在纵向偏转α角和横向偏转β角的情况时液体体积V和实测高度h′的关系，从而知道了α角和β角对液体体积的一般影响。
我们的模型是在模型假设上建立起来的理想模型，所以与实测值肯定存在一定的误差，运用的近似方法不同，那么对体积计算的精确程度就不太高，所以我们在对模型的进一步改进时可以避免近似或者寻找更精确的近似方法，减少系统误差。
参考文献：
[1]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].二版.高等教育出版社，2003，6.
[2]司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用[M].国防工业出版社，2013，8.
[3]田铁军.倾斜卧式罐直圆筒部分的容积计算[J].现代计算测量，1999（5）.
[4]范继义.油罐[M].中国石化出版社，2007，1.
[5]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].四版.2011，1.
[6]赵立峰，李雷，张爱华.线性代数与解析几何[M].2012，5.
（①南京邮电大学海外教育学院，南京210023；②南京师范大学教师教育学院，南京210046）
（①SchoolofOverseaEducation,NanjingUniversityofPostsandTelecommunications，Nanjing210023，China；
②CollegeofTeacherEducation，NanjingNormalUniversity，Nanjing210046，China）
摘要：通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，但是由于地基变形等原因，罐体会发生横向和纵向的偏斜。本文建立了数学模型对罐容量进行了重新标定。在小椭圆储油罐中，对油罐中油的形状进行了分类讨论。研究探讨了罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系，通过模拟结果发现实验值与观察值的结果相关性很高（相关系数超过0.99）。
Abstract:Usuallythereareseveralundergroundstoragetankstostorefuelingasstations,andthereisamatched"Oillevelmeasurementmanagementsystem".Butduetogrounddeformationandotherreasons,horizontalandverticaldeflectionofthetankswillhappen.Thispaperestablishesamathematicalmodeltocalibratethetankcapacityagain.Insmallellipsestoragetank,thedifferentshapesoftheoilinthetankarediscussed.Thegeneralrelationshipbetweentankcapacityandoillevelheightanddisplacementparameters(longitudinalangleαandlateraldeflectionangleβ)isdiscussed.Thesimulationresultshowsthatthereisahighcorrelationbetweentheexperimentresultandobservationresult(thecorrelationcoefficientisover0.99).
关键词 ：储油罐；变位识别；罐容表
Keywords:storagetanks；deflectionidentification；tankcapacitytable
中图分类号：TQ018文献标识码：A文章编号：1006-4311（2015）21-0170-03
1问题重述
1.1问题背景
虚道储油罐在使用一段时间以后，由于地基变形等原因，罐体的位置会有纵向和横向的偏转，就会导致罐容表的失准。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
1.2要解决的问题
①为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，分别对罐体无变位和有倾斜角的纵向变位两种情况做了实验。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
②对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。
2问题分析
油罐未倾斜时，油浮子运动轨迹与液面垂直，因此测量值油面高度h就是真实液面高度。这时罐内石油形状比较规则，是一个柱体，体积容易计算，只需利用微积分知识对其进行简单的切片法进行计算。
当油罐倾斜时，油浮子运动轨迹与液面不再垂直，液面深度变成一个变值，可用测量值高度h和角进行转化。对于油罐倾斜时的体积计算需要分类进行讨论。
3模型假设
①假设罐内液体无挂壁现象。②假设罐体是光滑规则的。③不考虑罐体厚度的影响，所算得体积即为容积。④不考虑压强、温度等影响。
4符号说明
4.1问题一的符号说明
h~油位高度；
l1~油浮子距离储油罐左端的距离；
l2~油浮子距离储油罐右端的距离；
H~油面上任意一点到油罐底部的垂直距离；
α~纵向偏移角。
4.2问题二符号说明
h~油位高度（只考虑α的影响）；
h′~油位高度（只考虑α和β的影响）；
l1~油浮子距离储油罐左端球冠体底面的距离；
l2~油浮子距离储油罐右端球冠体底面的距离；
H~油面上任意一点到油罐底部的垂直距离；
α~纵向偏移角；
β~横向偏移角。
5模型的建立与问题的求解
这个问题实质上就是体积的计算，对不规则图形的体积计算需要用到微积分中微元法的思想。计算体积可以转化为对空间区域三重积分的计算，而对于这一类图形比较复杂，界面的形状可以列出表达式得情形，“先二后一”法，也就是切片法的运用就可以简化计算。下面的两个模型都用到了这个方法。
5.1模型一：无变位模型
无变位状态下的液体形状比较规则，无需太多讨论，直接可以利用微积分算出其体积。
水平放置的油罐的示意图如图1。
液面的横截面图（图2）。
椭圆方程为
6结论
本文中的模型主要利用微积分知识分析了两端为球冠的实际储油罐的状态，对其内不同位置状态的石油体积进行了进一步的分类讨论，得到了在纵向偏转α角和横向偏转β角的情况时液体体积V和实测高度h′的关系，从而知道了α角和β角对液体体积的一般影响。
我们的模型是在模型假设上建立起来的理想模型，所以与实测值肯定存在一定的误差，运用的近似方法不同，那么对体积计算的精确程度就不太高，所以我们在对模型的进一步改进时可以避免近似或者寻找更精确的近似方法，减少系统误差。
参考文献：
[1]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].二版.高等教育出版社，2003，6.
[2]司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用[M].国防工业出版社，2013，8.
[3]田铁军.倾斜卧式罐直圆筒部分的容积计算[J].现代计算测量，1999（5）.
[4]范继义.油罐[M].中国石化出版社，2007，1.
[5]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].四版.2011，1.
[6]赵立峰，李雷，张爱华.线性代数与解析几何[M].2012，5.
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