如何“秒杀”选择题和填空题
高考数学题，每年都有一些选择题或者填空题可以被优秀考生“秒杀”，即通过使用灵活的技巧，快速准确地得到答案，从而节省宝贵的解题时间。事实上，高考既要考察考生的基础知识和基本技能，也要考察考生灵活的思维素质，从而遴选不同思维品质的考生进入不同层次的高校学习。因此，命题时有意设置适当数量的这种题目，是完全正确的，这一点，高考命题专家有过专门论述。这种题，用传统的“小题大做”方法当然也可以解决，但是要耗费考生大量的时间，而用秒杀技巧，则只要数妙即可。由于学生自读初中以来，已经习惯于用按部就班的思路解题，习惯于“小题大做”，而不太适应高考的这一精神，因此，教师向学生介绍有关“秒杀”的技巧，也是必要的。
综观历年高考题，“秒杀”的技巧大致有下列数种——
一、作图秒杀。运用数形结合的数学思想，通过作图帮助解决问题。
【例1】（2011陕西）方程
在
内（ ）
A、没有根 B、有且仅有一个根
C、有且仅有两个根 D、有无穷多个根
解析：如图，知选C。
【例2】（2011北京）已知
函数
。若关于
的方程
有两个不同的实数根，则的取值范
围是 。
解析：作草图，由图知，
。
二、代值秒杀。就是以符合选项条件的具体数值代入分别题干，或者反过来，看哪个数值符合要求，从而确定选项的方法。因为仅仅涉及数值计算，大大节省精力与时间，所以是一种常用的方法。
【例3】（97年高考）不等式组
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端的值都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程
的根！，代入验证：2不是，3不是，2.5也不是，所以选C。
【例4】不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：如果直接解，相当于一道大题；取
代入原不等式，成立，排除B、C；取
，代入，不成立，排除D，选A；另外，由
时不等式显然成立，而
时不等式显然不成立，故选A。
三、直觉秒杀。直觉就是跳过过程直接觉察到问题的结果。
【例5】△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）
A、
B、
C、1 D、
解析：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法：
设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，
∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△= cos2（A-B）-8y≥0，
即8y≤cos2（A-B）≤1，∴
≤
，故应选B。
这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60°，即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）
【例6】（97全国理科改编）函数
的最小正周期是 。
解析：意识到总有
，所以函数
的周期只与
有关，这里
，所以直接填
即可，没必要化时间去化简运算。
四、整体秒杀。这是基于从宏观上整体把握问题而产生的一中解题策略，是整体思想在解答小题方面的应用：不管细微末节，直奔目标。
【例7】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A、0.216
B、0.36 C、0.432 D、0.648
解析：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为
，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D。
现在再用整体法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而整体来看甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）
【例8】、已知
都是正数，则
的最小值为 。
从学生答题情况来看，此题得分率很低，其根本原因是不会把
当作一个整体来看。令
，则运用基本不等式很快得解，答案为4。
五、定义秒杀。定义是知识的生长点，一切定理和公式都是由定义派生的，因此，抓住定义，就等于回到了知识的源头，有利于高层次地快速解决问题。
【例9】、点P是以
为焦点的椭圆上的一点，过焦点
作
的外角平分线的垂线，垂足为
，则点
的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解析：连接
，则
是△
的中位线，所以
定值，所以M的轨迹是圆，选A。
【例10】已知
，则
；已知函数
那么
。
解析：根据反函数的定义，交换
的位置，即可得解。
六、特例秒杀。原理是：如果问题对一切情形都成立，则对特殊情形也成立。
【例11】（06北京理7）设
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：此题是等比数列求和，难在项数的确定。
令
，则
，对照选项，选D。
【例12】（1993年全国改编）在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
。
解析：因答案确定，故取一个满足条件的特殊数列
即可，填10。
七、模型秒杀。把问题放置在符合条件的几何体或者某个情境中，使问题变得简单明了。
【例13】两条异面直线
的射影互相垂直，则下列关于
所成角的选项中正确的是（ ）
A、
必成直角 B、
必成钝角 C、
必成锐角D、以上皆错
解析：在正方体中，先取底面对角线作为
的射影，再在含有底面对角线的对角面中找异面直线
，即知A、B、C错误，选D。此题容易误选A。
【例14】由三根细棒PA、PB、PC组成的支架，PA、PB、PC两两所成的角都为60°，一个半径为1的小球放在支架上，则球心
O到点P的距离是
。
解析：这是近年高考模拟题中的一道把关题，许多考生被它折磨得烦躁不堪。实际上，在正方体
中，AD1、AC、AB1三条面对角线就是所指的支架，则小球内切于正方体中，因此所求球心O到点P的距离是正方体主对角线长的一半，填
。
这个解法是王博威同学发现的，他的这个解法震惊了在场的其它同学。
八、筛选秒杀。从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一
”的规则，逐步剔除干扰项，得出正确选项。
【例15】．已知
在[0，1]上是
的减函数，则
的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、[2，+∞
解：∵2－ax是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，这与x
[0，1]不符合，排除答案D，所以选B。
【例16】若
，则
（ ）
A、-1 B、1 C、0 D、
解析：考虑到系数取绝对值以后，其和会相当大，排除A、B、C，选D。
九、估值秒杀。有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或对位置进行估计，可避免因为精确计算或严格推演而浪费时间。
【例17】已知
是方程
的根，
是方程
的根，则
（
）
A、6 B、3 C、2 D、1
解析：此题可以数形结合来解，也可根据反函数的定义来解，但是都不如用估值法来得快捷：因为
是方程
的根，所以
＜
＜
；
是方程
的根，所以
＜
＜
所以
＜
＜
，选B。
【例18】（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人测试成绩如下表：
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A、
＞
＞
B、
＞
＞
C、
＞
＞
D、
＞
＞
。
解析：固然可以用直接法算出答案来，有些“标准答案”正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估值法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉法。
十、趋势秒杀。把问题置于某一变化过程中，让静止的问题运动起来，根据运动变化的趋势来判断答案。
【例19】（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？
A、8
cm2 B、6
cm2C、3
cm2D、20 cm2
解析：此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为
cm2，选B。
【例20】（06辽宁文11）与方程
的曲线关于直线
对称的曲线方程为（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为
，是个增函数。再令
那么
那么根据反函数的定义，在正确选项中当
时应该有
只有A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。
结语：以上是高考中经常考察的方法，此外，还有逆向思考法，等价转化法，极端情形法，现场操作法，经验联想法，等等。事实上，在实战中要善于多法结合，组合出击，则可以更加多地节省解题时间，也有利于提高学习兴趣。
主要参考文献：
1、《怎样解题》第四次修订版 薛金星主编 北京教育出版社
2、《怎样解题》第三次修订版 薛金星主编 北京教育出版社
3、《高考数学测量研究与实践》修订版 任子朝主编 教育部考试中心高等教育出版社
4、近年高考试卷。
高考数学题，每年都有一些选择题或者填空题可以被优秀考生“秒杀”，即通过使用灵活的技巧，快速准确地得到答案，从而节省宝贵的解题时间。事实上，高考既要考察考生的基础知识和基本技能，也要考察考生灵活的思维素质，从而遴选不同思维品质的考生进入不同层次的高校学习。因此，命题时有意设置适当数量的这种题目，是完全正确的，这一点，高考命题专家有过专门论述。这种题，用传统的“小题大做”方法当然也可以解决，但是要耗费考生大量的时间，而用秒杀技巧，则只要数妙即可。由于学生自读初中以来，已经习惯于用按部就班的思路解题，习惯于“小题大做”，而不太适应高考的这一精神，因此，教师向学生介绍有关“秒杀”的技巧，也是必要的。
综观历年高考题，“秒杀”的技巧大致有下列数种——
一、作图秒杀。运用数形结合的数学思想，通过作图帮助解决问题。
【例1】（2011陕西）方程
在
内（ ）
A、没有根 B、有且仅有一个根
C、有且仅有两个根 D、有无穷多个根
解析：如图，知选C。
【例2】（2011北京）已知
函数
。若关于
的方程
有两个不同的实数根，则的取值范
围是 。
解析：作草图，由图知，
。
二、代值秒杀。就是以符合选项条件的具体数值代入分别题干，或者反过来，看哪个数值符合要求，从而确定选项的方法。因为仅仅涉及数值计算，大大节省精力与时间，所以是一种常用的方法。
【例3】（97年高考）不等式组
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端的值都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程
的根！，代入验证：2不是，3不是，2.5也不是，所以选C。
【例4】不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：如果直接解，相当于一道大题；取
代入原不等式，成立，排除B、C；取
，代入，不成立，排除D，选A；另外，由
时不等式显然成立，而
时不等式显然不成立，故选A。
三、直觉秒杀。直觉就是跳过过程直接觉察到问题的结果。
【例5】△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）
A、
B、
C、1 D、
解析：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法：
设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，
∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△= cos2（A-B）-8y≥0，
即8y≤cos2（A-B）≤1，∴
≤
，故应选B。
这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60°，即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）
【例6】（97全国理科改编）函数
的最小正周期是 。
解析：意识到总有
，所以函数
的周期只与
有关，这里
，所以直接填
即可，没必要化时间去化简运算。
四、整体秒杀。这是基于从宏观上整体把握问题而产生的一中解题策略，是整体思想在解答小题方面的应用：不管细微末节，直奔目标。
【例7】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A、0.216
B、0.36 C、0.432 D、0.648
解析：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为
，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D。
现在再用整体法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而整体来看甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）
【例8】、已知
都是正数，则
的最小值为 。
从学生答题情况来看，此题得分率很低，其根本原因是不会把
当作一个整体来看。令
，则运用基本不等式很快得解，答案为4。
五、定义秒杀。定义是知识的生长点，一切定理和公式都是由定义派生的，因此，抓住定义，就等于回到了知识的源头，有利于高层次地快速解决问题。
【例9】、点P是以
为焦点的椭圆上的一点，过焦点
作
的外角平分线的垂线，垂足为
，则点
的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解析：连接
，则
是△
的中位线，所以
定值，所以M的轨迹是圆，选A。
【例10】已知
，则
；已知函数
那么
。
解析：根据反函数的定义，交换
的位置，即可得解。
六、特例秒杀。原理是：如果问题对一切情形都成立，则对特殊情形也成立。
【例11】（06北京理7）设
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：此题是等比数列求和，难在项数的确定。
令
，则
，对照选项，选D。
【例12】（1993年全国改编）在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
。
解析：因答案确定，故取一个满足条件的特殊数列
即可，填10。
七、模型秒杀。把问题放置在符合条件的几何体或者某个情境中，使问题变得简单明了。
【例13】两条异面直线
的射影互相垂直，则下列关于
所成角的选项中正确的是（ ）
A、
必成直角 B、
必成钝角 C、
必成锐角D、以上皆错
解析：在正方体中，先取底面对角线作为
的射影，再在含有底面对角线的对角面中找异面直线
，即知A、B、C错误，选D。此题容易误选A。
【例14】由三根细棒PA、PB、PC组成的支架，PA、PB、PC两两所成的角都为60°，一个半径为1的小球放在支架上，则球心
O到点P的距离是
。
解析：这是近年高考模拟题中的一道把关题，许多考生被它折磨得烦躁不堪。实际上，在正方体
中，AD1、AC、AB1三条面对角线就是所指的支架，则小球内切于正方体中，因此所求球心O到点P的距离是正方体主对角线长的一半，填
。
这个解法是王博威同学发现的，他的这个解法震惊了在场的其它同学。
八、筛选秒杀。从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一
”的规则，逐步剔除干扰项，得出正确选项。
【例15】．已知
在[0，1]上是
的减函数，则
的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、[2，+∞
解：∵2－ax是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，这与x
[0，1]不符合，排除答案D，所以选B。
【例16】若
，则
（ ）
A、-1 B、1 C、0 D、
解析：考虑到系数取绝对值以后，其和会相当大，排除A、B、C，选D。
九、估值秒杀。有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或对位置进行估计，可避免因为精确计算或严格推演而浪费时间。
【例17】已知
是方程
的根，
是方程
的根，则
（
）
A、6 B、3 C、2 D、1
解析：此题可以数形结合来解，也可根据反函数的定义来解，但是都不如用估值法来得快捷：因为
是方程
的根，所以
＜
＜
；
是方程
的根，所以
＜
＜
所以
＜
＜
，选B。
【例18】（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人测试成绩如下表：
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A、
＞
＞
B、
＞
＞
C、
＞
＞
D、
＞
＞
。
解析：固然可以用直接法算出答案来，有些“标准答案”正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估值法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉法。
十、趋势秒杀。把问题置于某一变化过程中，让静止的问题运动起来，根据运动变化的趋势来判断答案。
【例19】（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？
A、8
cm2 B、6
cm2C、3
cm2D、20 cm2
解析：此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为
cm2，选B。
【例20】（06辽宁文11）与方程
的曲线关于直线
对称的曲线方程为（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为
，是个增函数。再令
那么
那么根据反函数的定义，在正确选项中当
时应该有
只有A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。
结语：以上是高考中经常考察的方法，此外，还有逆向思考法，等价转化法，极端情形法，现场操作法，经验联想法，等等。事实上，在实战中要善于多法结合，组合出击，则可以更加多地节省解题时间，也有利于提高学习兴趣。
主要参考文献：
1、《怎样解题》第四次修订版 薛金星主编 北京教育出版社
2、《怎样解题》第三次修订版 薛金星主编 北京教育出版社
3、《高考数学测量研究与实践》修订版 任子朝主编 教育部考试中心高等教育出版社
4、近年高考试卷。
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