彭文 许栩
摘要：本文围绕欧式看涨期权定价模型的有限差分法展开研究讨论。通过变量代换把Black-Scholes方程转化为抛物型偏微分方程，选择显式和隐式两种主要格式进行讨论。利用建立网格、离散化变量、从低时间层开始的逐次运算，不断求出下一层的网格点数值。同时，得出在网格比满足一定條件下，差分格式数值结果满足稳定性的结论。最后以行权时间分别在2020年4月、5月的华夏上证50ETF认购期权开盘价作为基础数据，进行期权定价的有限差分方法数值算例，得到有限差分格式比经典Black-Scholes模型的定价结果更准确、更符合现实生活中金融市场价格的结论。
关键词：欧式看涨期权定价 有限差分方法 Black-Scholes方程
一、引言
期权作为一种基础金融工具，具有规避风险、价格发现和风险投资等功能，在金融市场及金融交易中扮演着重要角色。在期权市场中，期权定价是一切交易的基础，没有合理的定价方法，便不能进行高效快速地交易结算。1973年，经典布莱克-斯科尔斯方程的提出打开了期权定价的大门，之后学者们围绕其方程的缺陷对微分方程进行创新，研究其稳定性等性质，更积极地将理论模型应用到实际金融产品的定价以及模型检验。2015年2月，证监会准许上证50ETF期权进入场内交易，其具有规模大、流动性好、跟踪误差相对较小等特点，是中国优质资产的代表。上证50ETF至今已稳定运行了1800多天，解决了中国长期价值投资的难题。ETF期权是标准化的期权合约，标的物是交易型开放式指数基金（ETF）。上证50ETF有认购和认沽两种期权，合约单位10000份，到期日分别是当月、下月和之后的两个季月。本文通过有限差分方法，对上证50ETF的定价进行了研究。
二、Black-Scholes模型方程的转化
期权标的资产是股票，且假设股票价格的变动是离散的，标的资产的价格（或标的资产指数）在真实市场中，若忽略开市之后的股票价格跳跃，其几乎不太可能随时间一起波动，甚至可以认为它是连续的。20世纪70年代，布莱克（Fisher Black）、斯科尔斯（Myron Scholes）和默顿（Robert Merton）[1]推导出标的物为连续变化情况下的期权定价模型，该公式为Black-Scholes模型，是金融经济学中的经典模型之一。为了表彰他们在该领域做出的贡献，Scholes和Merton于1997年被授予诺贝尔经济学奖。遗憾的是Black在在评奖的两年前去世，否则他也理应一起获得此殊荣。Black-Scholes模型成立的前提有如下几条：
（一）推导过程采用方法为连续复利;
（二）投资者可以随意以无风险利率借贷;
（三）不存在无风险套利契机;
（四）可以任意买多和卖空无限制数额的标的资产;
（五）交易无摩擦成本;
（六）金融基础资产价格变化遵守几何布朗运动，其带有固定漂移率和波动率都是固定的;
（七）股票不付息;
在静态情况下，Black等人推导出了欧式期权的定价公式，分别为：
欧式看涨期权当前价格：
欧式看跌期权当前价格：
其中，，S0是标的资产当前价格，K为期权行权价格，r为年无风险利率，σ是标的资产价格年波动率，T为到期时间，N（x）为标准正态分布的累积概率分布函数。通常带入x的数值后通过查表或在Excel中运用NORMSDIST命令计算获得，C0和P0则分别是经Black-Scholes模型计算得到的欧式看涨和欧式看跌期权的当前理论价格。
Black-Scholes微分方程是一个较为复杂的变系数微分方程，我们难以直接求解，需要通过巧妙的变量代换把它转化为较简单的抛物型方程。
（二）差分格式稳定性讨论
笔者将对差分格式的稳定性问题展开讨论。使用有限差分格式进行运算时，计算步骤是依据时间层渐次推展的。比如，利用第m层上计算出来的数值vmn，我们可以进而对第m+1层上的vnm+1进行计算。所以，在求出vmn时的舍入误差（m=0的时也有这种情况，但这时的误差是由于初始数据不准确导致的），势必对vnm+1的计算结果有所影响。故此，需要剖析误差扩散的情形。我们尝试控制误差的影响不至于逐渐变大，甚至改变了有限差分格式精确解的准确性，以此为目的展开稳定性问题的讨论。假如误差的影响逐渐变大，甚至差分格式的精确解完全被覆盖，笔者称这种差分格式是不稳定的;反之亦然，假如我们可以人为消除误差的影响，差分格式的解大体上都能计算得出，便可以称这种差分格式是稳定的差分格式。简而言之，讨论差分格式的稳定性即指在实际运算当中，是否可以使近似解逼近差分方程的精确解。
讨论差分格式的稳定性即指在实际运算当中，是否可以使近似解逼近差分方程的精确解。
借助MATLAB统计软件中的blsprice函数求得Black-Scholes模型欧式看涨期权理论价格，使用自编脚本程序通过有限差分方法对欧式看涨期权进行定价。由wind金融资讯终端获得4月20日上证50ETF期权的真实市场价格。
五、结 论
本文主要对有限差分格式的稳定性和收敛性展开了研究和讨论，同时也使用有限差分格式和Black-Scholes期权定价模型，对上证50ETF期权进行了定价对比，总结出以下结论：
通过对经典Black-Scholes期权定价方程的求解区间进行离散化的网格划分，推导出对应的有限差分方程和计算方式。对稳定性和收敛性展开讨论，得出在网格比α满足一定情况下，数值结果满足稳定性的结论。本文通过实证研究进行数值实验，比较了两种不同定价方法的数值解，即有限差分格式和Black-Scholes期权定价方程，并与实际市场价格进行了比较，证实了有限差分方法具有稳定性和收敛性且比经典B-S模型定价结果更准确。
参考文献：
[1]Black，F.and Scholes，M.（1973）The Pricing of Options and Corporate Liabilities.The Journal of Political Economy，81，637-654.
[2]李倩，郑洁.欧式看涨期权定价中差分格式的稳定性分析[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013，29（03）：21-25.
[3]康颖.欧氏看涨期权定价的有限差分数值解法[D].上海大学，2015.
基金项目：由中央高校基本科研业务费专项资金资助（项目批准号：2652018054）。
作者单位：中国地质大学（北京）
摘要：本文围绕欧式看涨期权定价模型的有限差分法展开研究讨论。通过变量代换把Black-Scholes方程转化为抛物型偏微分方程，选择显式和隐式两种主要格式进行讨论。利用建立网格、离散化变量、从低时间层开始的逐次运算，不断求出下一层的网格点数值。同时，得出在网格比满足一定條件下，差分格式数值结果满足稳定性的结论。最后以行权时间分别在2020年4月、5月的华夏上证50ETF认购期权开盘价作为基础数据，进行期权定价的有限差分方法数值算例，得到有限差分格式比经典Black-Scholes模型的定价结果更准确、更符合现实生活中金融市场价格的结论。
关键词：欧式看涨期权定价 有限差分方法 Black-Scholes方程
一、引言
期权作为一种基础金融工具，具有规避风险、价格发现和风险投资等功能，在金融市场及金融交易中扮演着重要角色。在期权市场中，期权定价是一切交易的基础，没有合理的定价方法，便不能进行高效快速地交易结算。1973年，经典布莱克-斯科尔斯方程的提出打开了期权定价的大门，之后学者们围绕其方程的缺陷对微分方程进行创新，研究其稳定性等性质，更积极地将理论模型应用到实际金融产品的定价以及模型检验。2015年2月，证监会准许上证50ETF期权进入场内交易，其具有规模大、流动性好、跟踪误差相对较小等特点，是中国优质资产的代表。上证50ETF至今已稳定运行了1800多天，解决了中国长期价值投资的难题。ETF期权是标准化的期权合约，标的物是交易型开放式指数基金（ETF）。上证50ETF有认购和认沽两种期权，合约单位10000份，到期日分别是当月、下月和之后的两个季月。本文通过有限差分方法，对上证50ETF的定价进行了研究。
二、Black-Scholes模型方程的转化
期权标的资产是股票，且假设股票价格的变动是离散的，标的资产的价格（或标的资产指数）在真实市场中，若忽略开市之后的股票价格跳跃，其几乎不太可能随时间一起波动，甚至可以认为它是连续的。20世纪70年代，布莱克（Fisher Black）、斯科尔斯（Myron Scholes）和默顿（Robert Merton）[1]推导出标的物为连续变化情况下的期权定价模型，该公式为Black-Scholes模型，是金融经济学中的经典模型之一。为了表彰他们在该领域做出的贡献，Scholes和Merton于1997年被授予诺贝尔经济学奖。遗憾的是Black在在评奖的两年前去世，否则他也理应一起获得此殊荣。Black-Scholes模型成立的前提有如下几条：
（一）推导过程采用方法为连续复利;
（二）投资者可以随意以无风险利率借贷;
（三）不存在无风险套利契机;
（四）可以任意买多和卖空无限制数额的标的资产;
（五）交易无摩擦成本;
（六）金融基础资产价格变化遵守几何布朗运动，其带有固定漂移率和波动率都是固定的;
（七）股票不付息;
在静态情况下，Black等人推导出了欧式期权的定价公式，分别为：
欧式看涨期权当前价格：
欧式看跌期权当前价格：
其中，，S0是标的资产当前价格，K为期权行权价格，r为年无风险利率，σ是标的资产价格年波动率，T为到期时间，N（x）为标准正态分布的累积概率分布函数。通常带入x的数值后通过查表或在Excel中运用NORMSDIST命令计算获得，C0和P0则分别是经Black-Scholes模型计算得到的欧式看涨和欧式看跌期权的当前理论价格。
Black-Scholes微分方程是一个较为复杂的变系数微分方程，我们难以直接求解，需要通过巧妙的变量代换把它转化为较简单的抛物型方程。
（二）差分格式稳定性讨论
笔者将对差分格式的稳定性问题展开讨论。使用有限差分格式进行运算时，计算步骤是依据时间层渐次推展的。比如，利用第m层上计算出来的数值vmn，我们可以进而对第m+1层上的vnm+1进行计算。所以，在求出vmn时的舍入误差（m=0的时也有这种情况，但这时的误差是由于初始数据不准确导致的），势必对vnm+1的计算结果有所影响。故此，需要剖析误差扩散的情形。我们尝试控制误差的影响不至于逐渐变大，甚至改变了有限差分格式精确解的准确性，以此为目的展开稳定性问题的讨论。假如误差的影响逐渐变大，甚至差分格式的精确解完全被覆盖，笔者称这种差分格式是不稳定的;反之亦然，假如我们可以人为消除误差的影响，差分格式的解大体上都能计算得出，便可以称这种差分格式是稳定的差分格式。简而言之，讨论差分格式的稳定性即指在实际运算当中，是否可以使近似解逼近差分方程的精确解。
讨论差分格式的稳定性即指在实际运算当中，是否可以使近似解逼近差分方程的精确解。
借助MATLAB统计软件中的blsprice函数求得Black-Scholes模型欧式看涨期权理论价格，使用自编脚本程序通过有限差分方法对欧式看涨期权进行定价。由wind金融资讯终端获得4月20日上证50ETF期权的真实市场价格。
五、结 论
本文主要对有限差分格式的稳定性和收敛性展开了研究和讨论，同时也使用有限差分格式和Black-Scholes期权定价模型，对上证50ETF期权进行了定价对比，总结出以下结论：
通过对经典Black-Scholes期权定价方程的求解区间进行离散化的网格划分，推导出对应的有限差分方程和计算方式。对稳定性和收敛性展开讨论，得出在网格比α满足一定情况下，数值结果满足稳定性的结论。本文通过实证研究进行数值实验，比较了两种不同定价方法的数值解，即有限差分格式和Black-Scholes期权定价方程，并与实际市场价格进行了比较，证实了有限差分方法具有稳定性和收敛性且比经典B-S模型定价结果更准确。
参考文献：
[1]Black，F.and Scholes，M.（1973）The Pricing of Options and Corporate Liabilities.The Journal of Political Economy，81，637-654.
[2]李倩，郑洁.欧式看涨期权定价中差分格式的稳定性分析[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013，29（03）：21-25.
[3]康颖.欧氏看涨期权定价的有限差分数值解法[D].上海大学，2015.
基金项目：由中央高校基本科研业务费专项资金资助（项目批准号：2652018054）。
作者单位：中国地质大学（北京）
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