在各类考试中，有学生认为最坑的题是那种，一看到题就觉得好简单呀，这不送分题吗，然后非常开心的就掉进了坑里，最关键的是掉进坑里还全然不知，觉得坑里贼舒服，因为自认为把分轻松拿到了手。下面结合一些学霸评出很坑的四类几何题，笔者作点评，期待你有所思考认识，避免下次再入坑。
第一类"坑" 有题目，无图形
题目中没有图，需要自己画出图，图形画法不唯一，这类问题往往需要分类讨论，这类题极易漏解而使解答错误。
1．（2019秋·南岗区期末）已知：在同一个平面内，AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝30°，则∠EOF的度数为_______度．
【解析】分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部．
∵AB⊥CD，垂足为O，∴∠AOC＝∠COB＝90°，
∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE＝1/2∠AOC＝45°．
分两种情况：
①如图1，射线OF在∠BOC内部时，
∵∠AOE＝45°，∠BOF＝30°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝105°；
②如图2，射线OF在∠BOD内部时，
∵∠COE＝45°，∠COB＝90°，∠BOF＝30°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COB+∠BOF＝165°．
故答案为105或165．
2．（2019秋·卫辉市期末）已知∠A和∠B的两边分别平行，若∠A＝71°22"，则∠B＝ ______．
【解析】∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，∠A＝71°22′，
∴∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B，
∴∠B＝108°38′或71°22′．
故答案为：108°38′或71°22′．
3．（2019秋·大洼区期末）已知△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝80°，则∠BAC＝______-．
【解析】当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，如图1所示．
∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABH＝80°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，∴∠C＝1/2∠ADB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝60°．
当∠ABC为钝角时，如图2所示．
∵AB+BH＝CH，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝1/2∠ABH＝40°．
故答案为：60°或40°．
4．（2019秋·蜀山区期末）在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC的度数是_______．
【解析】如图1，∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C﹣∠DAE＝180°，则2（∠B+∠C）＝220°，
解得，∠B+∠C＝110°，∴∠BAC＝70°，
∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝180°，
则2（∠B+∠C）＝140°，解得，∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝110°，
故答案为：70°或110°．
第二类"坑" 忽略关键字词
也有这么一类题目，我们会忽略题目中的关键字眼，做题时审题时一定要仔细，尤其要注意一些重要的关键字眼，不要以为是"容易题""陈题"就一眼带错，要注意"陈题"中可能有"新意"。也不要一眼看上去认为是"新题、难题"就畏难而放弃，要知道"难题"也只难在一点，"新题"只新在一处。由于疏忽看错题或畏难轻易放弃都会造成很大的遗憾。
5．（2019秋·克东县期末）已知线段AB＝10cm，点C在直线AB上，且BC＝2cm，若点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，则线段MN的长为______．
【解析】∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴BM＝1/2AB＝1/2×10＝5cm，BN＝1/2BC＝1/2×2＝1cm，
如图1，线段BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN＝5+1＝6cm，
如图2，线段BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN＝5﹣1＝4cm，
综上所述，线段MN的长度是6cm或4cm．
故答案为：6cm或4cm．
6．（2019秋·成都期末）在△ABC中，∠ACB＝50°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝3：5，则∠BEC的度数为_______．
【解析】①如图1中，当高BD在三角形内部时，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝50°，∴∠ACE＝∠ECB＝25°，
∵∠ABD：∠ACF＝3：5，∴∠ABD＝15°，
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠CBD＝40°，
∴∠CBE＝∠CBD+∠ABD＝40°+15°＝55°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠CBE＝180°﹣25°﹣55°＝100°
②如图2中，当高BD在△ABC外时，
同法可得：∠ABD＝25°，∠ABD＝15°，∠CBD＝40°，
∴∠CBE＝∠CBD﹣∠ABD＝40°﹣15°＝25°，
∴∠BEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
综上所述，∠BEC＝100°或130°，故答案为100°或130°．
7．（2019秋·肥城市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，AD＝1，E是边AC上的一点（E与端点不重合），如果以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，那么AE的长是_______．
【解析】分两种情况，由相似三角形的性质可求解．
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理可求得AB＝5，
∵A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴AB/AD=AC/AE，或AB/AE=AC/AD，
∴5/1=4/AE或5/AE=4/1，解得：AE＝4/5或AE＝5/4，
故答案为：4/5或5/4.
变式1.（2019秋·淅川县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为______.
【解析】∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，
∵BC＝4，∴CE＝4﹣BE，
∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，
∴CE/BC=EF/AB或CE/AC=EF/AB，即/4或/3=BE/3，
解得：BE＝12/7或2，
故答案为：12/7或2．
变式2（2019秋·港闸区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为________-．
【解答】∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC,则AP/BP=AD/BC,
∴AP/=2/3,解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP,则AP/BC=AD/BP,
∴AP/3=2/,解得AP＝1或6．
∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．故答案为：2.8或1或6．
第三类"坑"最值问题转化
平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，让学生真正头疼的题目，往往出现在填空选择等的压轴题中，得分率很低，是实实在在的"坑"题。几何最值问题常涉及到原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，其中包含了数学中的化归思想、数形结合思想。
8．（2019秋·椒江区期末）模型结论：如图①，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论PA+PB＝PC．
应用迁移：如图②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，F是△DEG内一点，则点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为（ ）
A．√17 B．5 C．3√3 D．√39
【解析】模型结论：∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，
∴∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC＝180°，∠DAC+∠PAC＝180°，
∴P，A，D在一条直线上，
∴△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝DC，
∴PB+PA＝PA+AD＝PD＝PC；
应用迁移：如图2：以DG为边作等边三角形△MGD，以DF为边作等边△DFP．连接EM，作MN⊥ED，交ED的延长线于N．
∵△MGD和△DFP是等边三角形
∴PF＝DF＝PD，∠FDP＝∠GDM＝60°，DG＝MD，
∴∠FDG＝∠MDP，∴△DFG≌△DPM，
∴FG＝PM，∴EF+DF+FG＝EF+PF+PM，
∴当E、F、P、M四点共线时，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，
∵∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，∴∠EDM＝150°，
∴∠NDM＝30°，
∵MD＝DG＝2√3．∴MN＝1/2DM＝√3，DN＝3，
∴NE＝DE+DN＝3+3＝6，
∴由勾股定理可求得EM＝√39，
∴点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为√39，故选：D．
9．（2020·武侯区模拟）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为______．
【解析】连接AM、MN、AN，如图1所示：
∵MN+AM≥AN，∴MN≥AN﹣AM，
当A、M、N三点共线时，MN＝AN﹣AM，最小，
当A、M、N三点共线时，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点B关于直线AP的对称点为M，
∴AP垂直平分BM，∴AB＝AM，PB＝PM，
易证△ABP≌△AMP，∴∠B＝∠PMA＝90°，∴∠PMN＝∠C＝90°，
∵PN是∠MPC的角平分线，∴∠NPM＝∠NPC，
易证△NPM≌△NPC，∴MN＝CN，
设MN＝x，则DN＝CD﹣CN＝3﹣x，AN＝AM+MN＝3+x，
在Rt△ADN中，4²+（3﹣x）²＝（3+x）²，
解得：x＝4/3，∴线段MN的最小值为4/3，故答案为：4/3．
10．（2019秋·苍南县期末）如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中∠DAE＝90°，则点E的横坐标等于_____-，连结CE，当CE达到最小值时，DE的长为______．
【解析】如图，把线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，
则C′为定点（2，5/2），易证△ACE≌△AC′D∴C′D＝CE．
当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为5/2，∴OD＝2，
过E作EG⊥OA于G，EH⊥x轴于H，则四边形EHOG是矩形，∴EG＝OH，
∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，
∴∠AEG+∠EAO＝∠EAO+∠OAD＝90°，∴∠AEG＝∠OAD，
∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO，
∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，∴点E的横坐标等于﹣4，
∴EH＝OG＝2，DH＝2+4＝6，∴由勾股定理可求得DE＝2√10，
故答案为：﹣4，2√10．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为______-．
【解答】如图，
∵∠AOB＝∠D′OC′，∴∠ACO′＝∠BOD′，
易证△AOC′≌△BOD′，∴∠OAF＝∠OBF，
∵∠AGO＝∠BOF∴∠BFA＝∠BOA＝90°，∴点F、B、A、O四点共圆，
∴当点F在劣弧上运动时，点F的纵坐标随∠FAO的增大而增大，
∵OC′＝2，∴点C′在以点O为圆心，2为半径的圆O上运动，
∴当AF与⊙O相切时，∠C′AO（即∠FAO）最大，
此时∠AC′O＝90°，点E′与点F重合，点F的纵坐标达到最大．
过点F作FH⊥x轴，垂足为H，如图所示．
∵∠AC′O＝90°，C′O＝2，AO＝4，
∴∠E′AO＝30°，AC′＝2√3．∴AF＝2√3+2．
∵∠AHF＝90°，∠FAH＝30°，
∴FH＝1/2AF＝1/2×（2√3+2）＝√3+1．
∴点P的纵坐标的最大值为√3+1．
第四类（折叠、旋转）变换或动点的多解问题
有些几何平移、旋转、对称、折叠问题，题目中有些元素位置或大小没有确定，需要自己画出图形确定出可能出现情形，图形画法往往不唯一，需要分类讨论这类题难度就较大。需要全面细致分析，否则极易漏解。图形的变换多解题型在几何知识里属于难度较大的一个模块，很多同学在做这类题时通常直接放弃，失分率很高
12．（2020·郑州一模）如图，在矩形ABMN中，AN＝1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为_______．
【解答】∵四边形ABMN是矩形，
∴AN＝BM＝1，∠M＝∠N＝90°，
∵CM＝CN，∴△BMC≌△ANC，
∴BC＝AC＝2，∴AC＝2AN，∴∠ACN＝30°，
∵AB∥MN，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，
∵DA＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴∠AFD＝60°，
∵∠DFE＝∠DAE＝30°，∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE＝√3/3．
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝√3．
综上所述，满足条件的EF的值为√3/3或´3．
13．（2019秋·川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为_______．
【解答】连接BB′，
∵BE＝B′E＝EC，∴∠BB′C＝90°，∴∠B′CD＜90°，
（1）如图1，∠B′DC＝90°，
则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，
∴BC＝2AB＝4，
（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′，D三点共线，
设AE，BB′交于F，∵AB＝AB′，EB＝EB′，∴AE垂直平分BB′，∴BF＝B′F，
∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，
∵∠BAF＝∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，∴∠BAF＝∠DCB′，
∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDB′，∴BF＝D′D，
∴F，B′是对角线BD的三等分点，
∵△BCB′∽△CDB′，∴BC/CD=CB´/DB´=BB´/CB´，
∴BC²/CD²=BB´/DB´，∴BC＝√2CD＝2√2，
故答案为：4或2√2．
14．（2019秋·宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6√10．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝______．
【解答】分两种情况：
①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：
则∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6√10，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝CD＝2√10，由勾股定理可求得BD＝20，
∵点P是AD的中点，∴PD＝1/2AD＝3√10，
∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，
∴PF/AB=PD/BD，即PF/2√10=3√10/20，解得：PF＝3，
∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴NF/PF=CE/PF=2，
∴MF＝NF＝2PF＝6，
∴MN＝2NF＝12；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：
由①得：PF＝3，MF＝6，
设MN＝PN＝x，则FN＝6﹣x，
在Rt△PNF中，32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝15/4，即MN＝15/4；
综上所述，MN的长为12或15/4；
故答案为：12或15/4．
15．（2019秋·大东区期末）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为_______．
【解答】①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，
由题意知，△BEC为等边三角形，
过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，
则EN＝√3/2BE＝√3/2，∴ME＝1﹣√3/2，
在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，
∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，
∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣√3，∴AP＝PE＝2﹣√3；
②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，
由题意知，△BCE为等边三角形，
过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝√3/2CE＝√3/2，∴ME＝1+√3/2，
在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，
∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+√3，∴AP＝PE＝2+√3；
③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，
又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，
在Rt△ABP中，AP＝√3/3AB＝√3/3，
综上所述，AP的值为2﹣√3或2+√3或√3/3．
反思总结
数学永远都有很坑的题，因为数学内容广，而且灵活性高。所以数学最容易出现超难题。而数学中的难度大的题主要集中在几何中。具体有以下几种情况。
一、几何图形变换多，尤其空间图形，如果想象能力如果跟不上，则一个很简单的图都会出现很难的题。
二、没去想常用的几何模型而去添加的辅助线，尤其是辅助线位于图形外面的。很多学生甚至老师都想不到。
三、几何题灵活度高，常规的题变换某些关键元素字眼，或操作图形变换方式，变换图形位置，就会导致图形的多样性，致使答案有多种可能，从而提升难度。导致很多人不会做。
综上所述，数学几何所谓坑人题是有招数应对的，只要认真深入认识研究，不难攻破的。
声明：本文经作者许可，选自今日头条号《中学数学深度研究》。
第一类"坑" 有题目，无图形
题目中没有图，需要自己画出图，图形画法不唯一，这类问题往往需要分类讨论，这类题极易漏解而使解答错误。
1．（2019秋·南岗区期末）已知：在同一个平面内，AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝30°，则∠EOF的度数为_______度．
【解析】分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部．
∵AB⊥CD，垂足为O，∴∠AOC＝∠COB＝90°，
∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE＝1/2∠AOC＝45°．
分两种情况：
①如图1，射线OF在∠BOC内部时，
∵∠AOE＝45°，∠BOF＝30°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝105°；
②如图2，射线OF在∠BOD内部时，
∵∠COE＝45°，∠COB＝90°，∠BOF＝30°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COB+∠BOF＝165°．
故答案为105或165．
2．（2019秋·卫辉市期末）已知∠A和∠B的两边分别平行，若∠A＝71°22"，则∠B＝ ______．
【解析】∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，∠A＝71°22′，
∴∠A+∠B＝180°或∠A＝∠B，
∴∠B＝108°38′或71°22′．
故答案为：108°38′或71°22′．
3．（2019秋·大洼区期末）已知△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝80°，则∠BAC＝______-．
【解析】当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，如图1所示．
∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABH＝80°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，∴∠C＝1/2∠ADB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝60°．
当∠ABC为钝角时，如图2所示．
∵AB+BH＝CH，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝1/2∠ABH＝40°．
故答案为：60°或40°．
4．（2019秋·蜀山区期末）在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC的度数是_______．
【解析】如图1，∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C﹣∠DAE＝180°，则2（∠B+∠C）＝220°，
解得，∠B+∠C＝110°，∴∠BAC＝70°，
∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝180°，
则2（∠B+∠C）＝140°，解得，∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝110°，
故答案为：70°或110°．
第二类"坑" 忽略关键字词
也有这么一类题目，我们会忽略题目中的关键字眼，做题时审题时一定要仔细，尤其要注意一些重要的关键字眼，不要以为是"容易题""陈题"就一眼带错，要注意"陈题"中可能有"新意"。也不要一眼看上去认为是"新题、难题"就畏难而放弃，要知道"难题"也只难在一点，"新题"只新在一处。由于疏忽看错题或畏难轻易放弃都会造成很大的遗憾。
5．（2019秋·克东县期末）已知线段AB＝10cm，点C在直线AB上，且BC＝2cm，若点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，则线段MN的长为______．
【解析】∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴BM＝1/2AB＝1/2×10＝5cm，BN＝1/2BC＝1/2×2＝1cm，
如图1，线段BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN＝5+1＝6cm，
如图2，线段BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN＝5﹣1＝4cm，
综上所述，线段MN的长度是6cm或4cm．
故答案为：6cm或4cm．
6．（2019秋·成都期末）在△ABC中，∠ACB＝50°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝3：5，则∠BEC的度数为_______．
【解析】①如图1中，当高BD在三角形内部时，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝50°，∴∠ACE＝∠ECB＝25°，
∵∠ABD：∠ACF＝3：5，∴∠ABD＝15°，
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠CBD＝40°，
∴∠CBE＝∠CBD+∠ABD＝40°+15°＝55°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠CBE＝180°﹣25°﹣55°＝100°
②如图2中，当高BD在△ABC外时，
同法可得：∠ABD＝25°，∠ABD＝15°，∠CBD＝40°，
∴∠CBE＝∠CBD﹣∠ABD＝40°﹣15°＝25°，
∴∠BEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
综上所述，∠BEC＝100°或130°，故答案为100°或130°．
7．（2019秋·肥城市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，AD＝1，E是边AC上的一点（E与端点不重合），如果以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，那么AE的长是_______．
【解析】分两种情况，由相似三角形的性质可求解．
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理可求得AB＝5，
∵A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴AB/AD=AC/AE，或AB/AE=AC/AD，
∴5/1=4/AE或5/AE=4/1，解得：AE＝4/5或AE＝5/4，
故答案为：4/5或5/4.
变式1.（2019秋·淅川县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为______.
【解析】∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，
∵BC＝4，∴CE＝4﹣BE，
∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，
∴CE/BC=EF/AB或CE/AC=EF/AB，即/4或/3=BE/3，
解得：BE＝12/7或2，
故答案为：12/7或2．
变式2（2019秋·港闸区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为________-．
【解答】∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC,则AP/BP=AD/BC,
∴AP/=2/3,解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP,则AP/BC=AD/BP,
∴AP/3=2/,解得AP＝1或6．
∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．故答案为：2.8或1或6．
第三类"坑"最值问题转化
平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，让学生真正头疼的题目，往往出现在填空选择等的压轴题中，得分率很低，是实实在在的"坑"题。几何最值问题常涉及到原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，其中包含了数学中的化归思想、数形结合思想。
8．（2019秋·椒江区期末）模型结论：如图①，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论PA+PB＝PC．
应用迁移：如图②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，F是△DEG内一点，则点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为（ ）
A．√17 B．5 C．3√3 D．√39
【解析】模型结论：∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，
∴∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC＝180°，∠DAC+∠PAC＝180°，
∴P，A，D在一条直线上，
∴△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝DC，
∴PB+PA＝PA+AD＝PD＝PC；
应用迁移：如图2：以DG为边作等边三角形△MGD，以DF为边作等边△DFP．连接EM，作MN⊥ED，交ED的延长线于N．
∵△MGD和△DFP是等边三角形
∴PF＝DF＝PD，∠FDP＝∠GDM＝60°，DG＝MD，
∴∠FDG＝∠MDP，∴△DFG≌△DPM，
∴FG＝PM，∴EF+DF+FG＝EF+PF+PM，
∴当E、F、P、M四点共线时，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，
∵∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，∴∠EDM＝150°，
∴∠NDM＝30°，
∵MD＝DG＝2√3．∴MN＝1/2DM＝√3，DN＝3，
∴NE＝DE+DN＝3+3＝6，
∴由勾股定理可求得EM＝√39，
∴点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为√39，故选：D．
9．（2020·武侯区模拟）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为______．
【解析】连接AM、MN、AN，如图1所示：
∵MN+AM≥AN，∴MN≥AN﹣AM，
当A、M、N三点共线时，MN＝AN﹣AM，最小，
当A、M、N三点共线时，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点B关于直线AP的对称点为M，
∴AP垂直平分BM，∴AB＝AM，PB＝PM，
易证△ABP≌△AMP，∴∠B＝∠PMA＝90°，∴∠PMN＝∠C＝90°，
∵PN是∠MPC的角平分线，∴∠NPM＝∠NPC，
易证△NPM≌△NPC，∴MN＝CN，
设MN＝x，则DN＝CD﹣CN＝3﹣x，AN＝AM+MN＝3+x，
在Rt△ADN中，4²+（3﹣x）²＝（3+x）²，
解得：x＝4/3，∴线段MN的最小值为4/3，故答案为：4/3．
10．（2019秋·苍南县期末）如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中∠DAE＝90°，则点E的横坐标等于_____-，连结CE，当CE达到最小值时，DE的长为______．
【解析】如图，把线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，
则C′为定点（2，5/2），易证△ACE≌△AC′D∴C′D＝CE．
当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为5/2，∴OD＝2，
过E作EG⊥OA于G，EH⊥x轴于H，则四边形EHOG是矩形，∴EG＝OH，
∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，
∴∠AEG+∠EAO＝∠EAO+∠OAD＝90°，∴∠AEG＝∠OAD，
∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO，
∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，∴点E的横坐标等于﹣4，
∴EH＝OG＝2，DH＝2+4＝6，∴由勾股定理可求得DE＝2√10，
故答案为：﹣4，2√10．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为______-．
【解答】如图，
∵∠AOB＝∠D′OC′，∴∠ACO′＝∠BOD′，
易证△AOC′≌△BOD′，∴∠OAF＝∠OBF，
∵∠AGO＝∠BOF∴∠BFA＝∠BOA＝90°，∴点F、B、A、O四点共圆，
∴当点F在劣弧上运动时，点F的纵坐标随∠FAO的增大而增大，
∵OC′＝2，∴点C′在以点O为圆心，2为半径的圆O上运动，
∴当AF与⊙O相切时，∠C′AO（即∠FAO）最大，
此时∠AC′O＝90°，点E′与点F重合，点F的纵坐标达到最大．
过点F作FH⊥x轴，垂足为H，如图所示．
∵∠AC′O＝90°，C′O＝2，AO＝4，
∴∠E′AO＝30°，AC′＝2√3．∴AF＝2√3+2．
∵∠AHF＝90°，∠FAH＝30°，
∴FH＝1/2AF＝1/2×（2√3+2）＝√3+1．
∴点P的纵坐标的最大值为√3+1．
第四类（折叠、旋转）变换或动点的多解问题
有些几何平移、旋转、对称、折叠问题，题目中有些元素位置或大小没有确定，需要自己画出图形确定出可能出现情形，图形画法往往不唯一，需要分类讨论这类题难度就较大。需要全面细致分析，否则极易漏解。图形的变换多解题型在几何知识里属于难度较大的一个模块，很多同学在做这类题时通常直接放弃，失分率很高
12．（2020·郑州一模）如图，在矩形ABMN中，AN＝1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为_______．
【解答】∵四边形ABMN是矩形，
∴AN＝BM＝1，∠M＝∠N＝90°，
∵CM＝CN，∴△BMC≌△ANC，
∴BC＝AC＝2，∴AC＝2AN，∴∠ACN＝30°，
∵AB∥MN，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，
∵DA＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴∠AFD＝60°，
∵∠DFE＝∠DAE＝30°，∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE＝√3/3．
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝√3．
综上所述，满足条件的EF的值为√3/3或´3．
13．（2019秋·川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为_______．
【解答】连接BB′，
∵BE＝B′E＝EC，∴∠BB′C＝90°，∴∠B′CD＜90°，
（1）如图1，∠B′DC＝90°，
则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，
∴BC＝2AB＝4，
（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′，D三点共线，
设AE，BB′交于F，∵AB＝AB′，EB＝EB′，∴AE垂直平分BB′，∴BF＝B′F，
∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，
∵∠BAF＝∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，∴∠BAF＝∠DCB′，
∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDB′，∴BF＝D′D，
∴F，B′是对角线BD的三等分点，
∵△BCB′∽△CDB′，∴BC/CD=CB´/DB´=BB´/CB´，
∴BC²/CD²=BB´/DB´，∴BC＝√2CD＝2√2，
故答案为：4或2√2．
14．（2019秋·宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6√10．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝______．
【解答】分两种情况：
①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：
则∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6√10，∠A＝∠C＝90°，
∴AB＝CD＝2√10，由勾股定理可求得BD＝20，
∵点P是AD的中点，∴PD＝1/2AD＝3√10，
∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，
∴PF/AB=PD/BD，即PF/2√10=3√10/20，解得：PF＝3，
∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴NF/PF=CE/PF=2，
∴MF＝NF＝2PF＝6，
∴MN＝2NF＝12；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：
由①得：PF＝3，MF＝6，
设MN＝PN＝x，则FN＝6﹣x，
在Rt△PNF中，32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝15/4，即MN＝15/4；
综上所述，MN的长为12或15/4；
故答案为：12或15/4．
15．（2019秋·大东区期末）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为_______．
【解答】①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，
由题意知，△BEC为等边三角形，
过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，
则EN＝√3/2BE＝√3/2，∴ME＝1﹣√3/2，
在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，
∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，
∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣√3，∴AP＝PE＝2﹣√3；
②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，
由题意知，△BCE为等边三角形，
过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝√3/2CE＝√3/2，∴ME＝1+√3/2，
在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，
∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+√3，∴AP＝PE＝2+√3；
③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，
又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，
在Rt△ABP中，AP＝√3/3AB＝√3/3，
综上所述，AP的值为2﹣√3或2+√3或√3/3．
反思总结
数学永远都有很坑的题，因为数学内容广，而且灵活性高。所以数学最容易出现超难题。而数学中的难度大的题主要集中在几何中。具体有以下几种情况。
一、几何图形变换多，尤其空间图形，如果想象能力如果跟不上，则一个很简单的图都会出现很难的题。
二、没去想常用的几何模型而去添加的辅助线，尤其是辅助线位于图形外面的。很多学生甚至老师都想不到。
三、几何题灵活度高，常规的题变换某些关键元素字眼，或操作图形变换方式，变换图形位置，就会导致图形的多样性，致使答案有多种可能，从而提升难度。导致很多人不会做。
综上所述，数学几何所谓坑人题是有招数应对的，只要认真深入认识研究，不难攻破的。
声明：本文经作者许可，选自今日头条号《中学数学深度研究》。
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