旋转问题是动态几何中的难点，考查知识广、对综合能力要求高，常作为中考数学压轴题出现。即使程度好的学生也谈旋转色变，很多学生对旋转问题有恐惧和逃避心理。如何科学备考旋转问题是取得中考数学高分的关键。这里重点讲一下“旋转+相似”问题。
所谓“旋转、相似”是指“旋转”变换和“相似”变换的组合；即由一个图形经过适当放缩后再旋转或先旋转再放缩得到另一个图形的变换过程。在教材中，“旋转”和“相似”是属于两个不同的教学内容，将旋转、相似两种变换结合起来进行分析，对学生的空间思维能力和逻辑推理能力有一定要求，这类问题常常作为中考压轴题型，应关注其几何模型分析求解策略。
解题思路
经典考题
1.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．
（1）当sinB＝1/2时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当sinB＝√2/2时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2√5，求线段CD的长．
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判断和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，借助手拉手模型分两种情况画出图形是解本题的关键．
【解答】（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝1/2，
∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，
①如图1，作EH⊥BC于点H，
∵ED⊥AC,∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，
∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，∴BE＝2EH, ∴BE＝2CD；
②BE＝2CD成立，
理由 ： ∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，
又∵AC/AB=1/2，AD/AE=1/2，
∴AC/AB=AD/AE，∴△ACD∽△ABE，∴BE/CD=AB/AC，
又∵Rt△ABC中，AB/AC＝2，∴BE/CD＝2，即BE＝2CD；
（2）∵sinB＝√2/2，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
①如图3所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2√5，
∵AC＝10＝BC，
根据勾股定理得，AB＝10√2，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF＝6√5，
∴BE＝BF﹣EF＝4√5，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC/AB=√2/2，AD/AE=√2/2，
∴AC/AB=AD/AE，∴△ACD∽△ABE，
∴BE/CD=AB/AC=√2/2，即4√5/CD=√2，∴CD＝2√10；
②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2√5，
又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10√2，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF＝6√5，
∴BE＝BF+EF＝8√5，
又∵△ACD∽△ABE，
∴BE/CD=AB/AC=√2，即8√5/CD=√2，∴CD＝4√10，
综上所述，线段CD的长为2√10或4√10．
2.【发现问题】
（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是 ．
（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．
①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；
②图2中∠AFB的度数是 ．
【探究拓展】
（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．
【分析】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
【解答】（1）∵△CAB和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
（2）如图2中，①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；
②∵△ACD≌△BCE，∴∠ACD＝∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC＝∠BOF，∴∠BFO＝∠ACO＝60°，∴∠AFB＝60°，
故答案为60°；
（2）结论：∠AFB＝45°，AD＝BE．
理由：如图3中，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，
∴∠ACD＝45°+∠BCD＝∠BCE，AC/BC=DC/EC=√2，
∴△ACD∽△BCE，∴AD/BE=AC/BC=√2，∠CBF＝∠CAF，
∴AD＝√2BE，
∵∠AFB+∠CBF＝∠ACB+∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝45°．
3.如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．
（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；
（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；
（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．
【分析】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，证明△OEM∽△BAC是本题的关键.
（1） 通过证明△ODE∽△OCA，再利用相似三角形面积比即可求解；
（2）通过证明△OEM∽△BAC，可得∠EOM＝∠ABC＝36°，分两种情况讨论可求解；
（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）∵OC是△ABC中AB边的中线，△ABC的面积为26，
∴S△OAC＝13，
∵DE∥AC，∴△ODE∽△OCA，∠OEM＝∠OAC，
∴
，且OD＝k⋅OC，∴S△ODE＝13k²，
（2）∵△ODE∽△OCA，∴OE/OA=OD/OC=DE/AC=k，
∵OC是△ABC中AB边的中线，点M是DE的中点，
∴AB＝2AO，EM＝1/2DE，
∴OE/AB=k/2=EM/AC，且∠OEM＝∠OAC，
∴△OEM∽△BAC，∴∠EOM＝∠ABC＝36°，
如图2，当0＜α＜144°时，
∵∠AON＝∠B+∠ONB，
∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB, ∴y＝α.
如图3，当144°＜α＜180°时，
∵∠BON＝∠EOM﹣∠BOE＝36°﹣（180°﹣α）
∴∠NOB＝α﹣144°，
∵∠BNO＝∠ABC﹣∠NOB＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；
（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，
若OB＝BN，则∠ONB＝（180°-36°）/2＝72°＝α，
若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，
当144°＜α＜180°时，
若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．
方法总结
如果题目中出现长度相等且有公共端点的两条线段，我们采用的方法就是旋转，这个公共的端点就是旋转中心，两条线段之间的夹角就是旋转角，旋转时，往往是一条线段要绑定一个三角形，旋转方向是朝着另一条线段旋转，一般情况就会将已知条件和问题集中再特殊图形当中，然后根据图形的性质解决。
（1）等边共顶点，方法是旋转。（2）旋转后出现三点共线，将四边形转化成三角形求解。（3）旋转后出现动点，由动点变化规律解决问题。（4）逆向运动思维解决问题。（5）由主动点运动规律找从动点规律。
借助“旋转相似（全等）一拖二”，再利用图中已知特殊角锁定一个直角三角形，将三条目标线段都集中在这个直角三角形中，由此得到它们的勾股关系，顺利解决问题！
声明：本文经作者许可，选自今日头条号《中学数学深度研究》。
所谓“旋转、相似”是指“旋转”变换和“相似”变换的组合；即由一个图形经过适当放缩后再旋转或先旋转再放缩得到另一个图形的变换过程。在教材中，“旋转”和“相似”是属于两个不同的教学内容，将旋转、相似两种变换结合起来进行分析，对学生的空间思维能力和逻辑推理能力有一定要求，这类问题常常作为中考压轴题型，应关注其几何模型分析求解策略。
解题思路
经典考题
1.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．
（1）当sinB＝1/2时，
①求证：BE＝2CD；
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当sinB＝√2/2时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2√5，求线段CD的长．
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判断和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，借助手拉手模型分两种情况画出图形是解本题的关键．
【解答】（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝1/2，
∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，
①如图1，作EH⊥BC于点H，
∵ED⊥AC,∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，
∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，∴BE＝2EH, ∴BE＝2CD；
②BE＝2CD成立，
理由 ： ∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，
又∵AC/AB=1/2，AD/AE=1/2，
∴AC/AB=AD/AE，∴△ACD∽△ABE，∴BE/CD=AB/AC，
又∵Rt△ABC中，AB/AC＝2，∴BE/CD＝2，即BE＝2CD；
（2）∵sinB＝√2/2，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AD，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：
①如图3所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2√5，
∵AC＝10＝BC，
根据勾股定理得，AB＝10√2，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF＝6√5，
∴BE＝BF﹣EF＝4√5，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC/AB=√2/2，AD/AE=√2/2，
∴AC/AB=AD/AE，∴△ACD∽△ABE，
∴BE/CD=AB/AC=√2/2，即4√5/CD=√2，∴CD＝2√10；
②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2√5，
又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10√2，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF＝6√5，
∴BE＝BF+EF＝8√5，
又∵△ACD∽△ABE，
∴BE/CD=AB/AC=√2，即8√5/CD=√2，∴CD＝4√10，
综上所述，线段CD的长为2√10或4√10．
2.【发现问题】
（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是 ．
（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．
①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；
②图2中∠AFB的度数是 ．
【探究拓展】
（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．
【分析】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
【解答】（1）∵△CAB和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
（2）如图2中，①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；
②∵△ACD≌△BCE，∴∠ACD＝∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC＝∠BOF，∴∠BFO＝∠ACO＝60°，∴∠AFB＝60°，
故答案为60°；
（2）结论：∠AFB＝45°，AD＝BE．
理由：如图3中，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，
∴∠ACD＝45°+∠BCD＝∠BCE，AC/BC=DC/EC=√2，
∴△ACD∽△BCE，∴AD/BE=AC/BC=√2，∠CBF＝∠CAF，
∴AD＝√2BE，
∵∠AFB+∠CBF＝∠ACB+∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝45°．
3.如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．
（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；
（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；
（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．
【分析】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，证明△OEM∽△BAC是本题的关键.
（1） 通过证明△ODE∽△OCA，再利用相似三角形面积比即可求解；
（2）通过证明△OEM∽△BAC，可得∠EOM＝∠ABC＝36°，分两种情况讨论可求解；
（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）∵OC是△ABC中AB边的中线，△ABC的面积为26，
∴S△OAC＝13，
∵DE∥AC，∴△ODE∽△OCA，∠OEM＝∠OAC，
∴
，且OD＝k⋅OC，∴S△ODE＝13k²，
（2）∵△ODE∽△OCA，∴OE/OA=OD/OC=DE/AC=k，
∵OC是△ABC中AB边的中线，点M是DE的中点，
∴AB＝2AO，EM＝1/2DE，
∴OE/AB=k/2=EM/AC，且∠OEM＝∠OAC，
∴△OEM∽△BAC，∴∠EOM＝∠ABC＝36°，
如图2，当0＜α＜144°时，
∵∠AON＝∠B+∠ONB，
∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB, ∴y＝α.
如图3，当144°＜α＜180°时，
∵∠BON＝∠EOM﹣∠BOE＝36°﹣（180°﹣α）
∴∠NOB＝α﹣144°，
∵∠BNO＝∠ABC﹣∠NOB＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；
（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，
若OB＝BN，则∠ONB＝（180°-36°）/2＝72°＝α，
若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，
当144°＜α＜180°时，
若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．
方法总结
如果题目中出现长度相等且有公共端点的两条线段，我们采用的方法就是旋转，这个公共的端点就是旋转中心，两条线段之间的夹角就是旋转角，旋转时，往往是一条线段要绑定一个三角形，旋转方向是朝着另一条线段旋转，一般情况就会将已知条件和问题集中再特殊图形当中，然后根据图形的性质解决。
（1）等边共顶点，方法是旋转。（2）旋转后出现三点共线，将四边形转化成三角形求解。（3）旋转后出现动点，由动点变化规律解决问题。（4）逆向运动思维解决问题。（5）由主动点运动规律找从动点规律。
借助“旋转相似（全等）一拖二”，再利用图中已知特殊角锁定一个直角三角形，将三条目标线段都集中在这个直角三角形中，由此得到它们的勾股关系，顺利解决问题！
声明：本文经作者许可，选自今日头条号《中学数学深度研究》。
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