经济问题中的数学建模应用
摘 要：微分方程是一类应用十分广泛而且常见的数学模型。它在经济学、管理学和物理学中有着重要的辅助研究作用。在经济学中，通过数学建模把经济问题所涉及的重要特征进行合理的数学转化，即用数学语言对经济学中复杂、抽象问题进行表述，将实际问题与数学紧密的结合起来。
关键词：微分方程；数学建模；逻辑斯谛方程；销售曲线
中图分类号：F347 文献标识码：A
微分方程研究范围广、历史悠久，在牛顿和莱布尼茨创造微分和积分运算时指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程 y┡=f（x）的求解问题。当人们运用微分去解决经济学中的问题时，发现其对经济问题所做的定性分析和定量分析是严谨的、可信的，因此大量的微分方程涌现出来。现如今，微分方程在经济学和管理学等方面得到越来越广泛的应用。
一、逻辑斯谛方程
逻辑斯谛方程是一种非线性的微分方程，它的数学模型属于一条连续的、单调递增的、单参数k为上渐近线的S型曲线。众所周知，经济学上存在着大量的S型变化的现象，而逻辑斯谛方程是可以描述这种变化的数学模型，其特点是一开始增长较慢，中间段增长速度较快，以后的增长速度下降并趋于稳定。在经济学中，如果问题的基本特征为在时间t很小时，呈指数型增长，而当t不断增大，增长速度却随之下降，且越来越接近一个确定的值时，可以考虑运用逻辑斯谛方程加以解决。
利用逻辑斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题，例如新产品在市场中的发展。根据逻辑斯谛方程可以建立一个新产品的推广模型。例如：某种新产品问世，t时刻的销量为f（t），由于产品属于新型产品，没有可替代的产品，因此t时刻产品销售量的增长率与f（x）成正比。同时，产品的销售量存在着一定的市场容量N，统计表明，与尚未购买的此新产品的潜在客户数量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合逻辑斯谛方程的模型， 于是有通解：
=kx（N-x）
其中k为比例系数，分离变量积分, 可以解得
x（t）=
由=,=
当x（t*）0,即销量x（t）单调增加. 当x（t*）=时,=0;当x（t*）>时, <0;当x（t*）<时，>0，即当销售量大于需求量的一半时，产品最畅销。当销售不足一半时，销售速度将不断的增大。同理，销售量达到一半时，销售速度则不断减少。
许多产品的销售曲线都和逻辑斯谛方程曲线十分的相近。所以，分析家认为，当产品推出的初期应小批量生产；当产品用户在20％－80％之间时，产品应该大批量的生产；但当产品的用户超过80％时，企业应该研发新的产品。
二、收入与债务的问题
目前，欧债美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多，其所需支付的利息超过了该国的国民收入时，该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗？国民收入与国家债务问题能否转化为微分方程去进行分析呢？当然可以。利用微分方程可以很好地体现一个国家的国民收入与其债务问题。
令D（t）表示国债在时刻t的美元价值，Y（t）表示时刻t国民收入。假定所有变量都以实际美元标价，从而去掉通货膨胀因素。同时假定赤字（定义为一个等于支出减去收入的正值）为任何时点国民收入的常数比例。由于债务变化恰好是赤字，则有
D=by,b>0（一般，许多国家的b值 介于0.02和0.08之间，这意味着赤字大约相当于国民收入的2%~8%）
同时进一步假定，国民收入随时间的增长满足如下微分方程：
Y=gY g为正常数（表示国民收入的增长率）。
上述两个方程一起构成了国债积累模型。为了分析该模型所蕴含的利息支付与国民收入长期比值之间的关系，我们需要求解这两个方程。该方程可以重新改写成
摘 要：微分方程是一类应用十分广泛而且常见的数学模型。它在经济学、管理学和物理学中有着重要的辅助研究作用。在经济学中，通过数学建模把经济问题所涉及的重要特征进行合理的数学转化，即用数学语言对经济学中复杂、抽象问题进行表述，将实际问题与数学紧密的结合起来。
关键词：微分方程；数学建模；逻辑斯谛方程；销售曲线
中图分类号：F347 文献标识码：A
微分方程研究范围广、历史悠久，在牛顿和莱布尼茨创造微分和积分运算时指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程 y┡=f（x）的求解问题。当人们运用微分去解决经济学中的问题时，发现其对经济问题所做的定性分析和定量分析是严谨的、可信的，因此大量的微分方程涌现出来。现如今，微分方程在经济学和管理学等方面得到越来越广泛的应用。
一、逻辑斯谛方程
逻辑斯谛方程是一种非线性的微分方程，它的数学模型属于一条连续的、单调递增的、单参数k为上渐近线的S型曲线。众所周知，经济学上存在着大量的S型变化的现象，而逻辑斯谛方程是可以描述这种变化的数学模型，其特点是一开始增长较慢，中间段增长速度较快，以后的增长速度下降并趋于稳定。在经济学中，如果问题的基本特征为在时间t很小时，呈指数型增长，而当t不断增大，增长速度却随之下降，且越来越接近一个确定的值时，可以考虑运用逻辑斯谛方程加以解决。
利用逻辑斯谛方程的思想可以很好地分析一些经济问题，例如新产品在市场中的发展。根据逻辑斯谛方程可以建立一个新产品的推广模型。例如：某种新产品问世，t时刻的销量为f（t），由于产品属于新型产品，没有可替代的产品，因此t时刻产品销售量的增长率与f（x）成正比。同时，产品的销售量存在着一定的市场容量N，统计表明，与尚未购买的此新产品的潜在客户数量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合逻辑斯谛方程的模型， 于是有通解：
=kx（N-x）
其中k为比例系数，分离变量积分, 可以解得
x（t）=
由=,=
当x（t*）0,即销量x（t）单调增加. 当x（t*）=时,=0;当x（t*）>时, <0;当x（t*）<时，>0，即当销售量大于需求量的一半时，产品最畅销。当销售不足一半时，销售速度将不断的增大。同理，销售量达到一半时，销售速度则不断减少。
许多产品的销售曲线都和逻辑斯谛方程曲线十分的相近。所以，分析家认为，当产品推出的初期应小批量生产；当产品用户在20％－80％之间时，产品应该大批量的生产；但当产品的用户超过80％时，企业应该研发新的产品。
二、收入与债务的问题
目前，欧债美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多，其所需支付的利息超过了该国的国民收入时，该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗？国民收入与国家债务问题能否转化为微分方程去进行分析呢？当然可以。利用微分方程可以很好地体现一个国家的国民收入与其债务问题。
令D（t）表示国债在时刻t的美元价值，Y（t）表示时刻t国民收入。假定所有变量都以实际美元标价，从而去掉通货膨胀因素。同时假定赤字（定义为一个等于支出减去收入的正值）为任何时点国民收入的常数比例。由于债务变化恰好是赤字，则有
D=by,b>0（一般，许多国家的b值 介于0.02和0.08之间，这意味着赤字大约相当于国民收入的2%~8%）
同时进一步假定，国民收入随时间的增长满足如下微分方程：
Y=gY g为正常数（表示国民收入的增长率）。
上述两个方程一起构成了国债积累模型。为了分析该模型所蕴含的利息支付与国民收入长期比值之间的关系，我们需要求解这两个方程。该方程可以重新改写成
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