恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式更是高考的重点，有人说不等式恒成立问题是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧抓住这类问题求解中的几个抓手，求不等式恒成立问题就会迎刃而解.本文试对这类问题作一些归纳和总结，以飧读者.
1.抓解集
对于恒成立问题，不等式的解集虽是一把双刃剑，它常会导致把不等式的解集与恒成立混为一谈的错误，但如能搞清它们之间的联系与区别，就能把解集作为恒成立求解的突破口.
例1 关于x的不等式x+(m+1)x+m<0在［0，9)上恒成立，求实数m的取值范围.
解析：原不等式等价于(x+1)(x+m)<0,
x≥0,即x<-m,
x≥0.当m≥0时，不等式解集为空集；当m<0时，原不等式解集为［0,m2)，当且仅当［0，9)［0,m2)且m<0时，原结论成立，即m2≥9且m<0，故m≤-3.
2.抓主元
在错综复杂的各种矛盾中，抓住了主要矛盾，就犹如抓住了一根主线，从而使次要矛盾迎刃而解.同样地在数学问题中，多变元的干扰，常会使学生思维的头绪，陷入众多繁复的岔道中，剪不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然.
例2 (2006•四川卷(文))已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的导函数，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0,求实数x的取值范围.
解析：它表面上是一个给出参数a的范围，解不等式g(x)<0的问题，事实并非如此.现把以x为变量的函数g(x)=3x2-ax+3a-5，改为以a为变量的函数，即以变量a为主元，令φ(a)=(3-x)a+3x2-5(-1≤a≤1)，则对-1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，从而转化为对-1≤a≤1,φ(a)<0恒成立问题，又由φ(a)是a的一次函数，问题就容易解决了，只需φ(1)<0,
φ(-1)<0,即
3x2-x-2<0,
3x2+x-8<0,解方程组得-23 3.抓△
二次不等式是不等式问题中一种最常见的题型，解决这类问题有很多方法，但万变不离其宗，其最根本的方法，还是利用二次式中的判别式△.
例3 若不等式-x2+2mx-2m-1<0,x∈［0，1］恒成立，求m的范围.
解析：不等式要求在x∈［0，1］时恒成立，所以△<0仅是一个充分条件.按判别式讨论，设f(x)=-x2+2mx-2m-1.
(1)△<0时，可解得1-2 (2)(Ⅰ)△≥0
f(0)<0
m<0或(Ⅱ)△≥0
f(1)<0
m>1解得-12-12.
4.抓分离
由函数极值思想可得，f(x)≥a恒成立a≤f(x)min;f(x)≤a恒成立a≥f(x)max.由此，此类问题可化归为求函数最值或值域的 问题，利用这种方法，关键是将参数与未知数进行分离，因此叫分离参数法.
例4 在△ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B，且|f(B)-m|<2恒成立，求实数m的取值范围.
解析：由f(B)=2sinB［1-cos(π2+B)］+cos2B=2sinB+2sin2B+1-2sin2B=2sinB+1,∵0f(B)-2
m ∴m>1,
m≤3，即m∈(1，3］.
例5 (2000年日本大学入学试题)已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.
(1)若对任意的x∈［-3，3］，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(2)若对任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围.
解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,问题转化为F(x)≥0在x∈［-3，3］上恒成立，为此只需F(x)在［-3，3］上的最小值F(x)min≥0即可.∵F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),由F′(x)=0得x=2或x=-1.∴F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,∴F(x)min=k-45,由k-45≥0，解得k≥45.
(2)由题意可知，当x∈［-3，3］时，都有f(x)max≤g(x)min.由F′(x)=16x+16=0得x=-1.∵f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,∴f(x)max=120-k,又由g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-1或x=-23,∵g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,g(-23)=-2827,∴g(x)min=-21，则120-k≤-21，解得k≥141.
5.抓图形
数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非，在不等式恒成立问题中，如若一时难以找出突破口，常可联想到问题中涉及的函数图像，以形助数，也许会有意想不到的收获.
例6 已知a>0且a≠1，f(x)=x2-ax，当x∈(-1，1)时，有f(x)<12，试求实数a的取值范围.
解析：本题其实也是一个恒成立问题，即函数f(x)<12在区间x∈(-1，1)中恒成立.由f(x)=x2-ax<12得x2-121时，只有a≤2才能保证，而0 6.抓特征
不等式恒成立问题和不等式能成立问题，两者形似质异，抓住它们的条件特征，有利于准确解题.
例7 (2006全国卷Ⅱ文)设a∈R，二次函数f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集为A，B={x|1 解析：这是一个在不等式成立的前提下，求参数的范围问题.题目的要求与大部分见到的题并不相同，这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题，而本题却是一个不等式能成立的问题，因为题目的条件是只要集合A，B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)>0在区间(1，3)有解就可以，这等价于f(x)max>0,在x∈(1，3)成立.
(1)当a<0时，因为f(x)的图像的对称轴1a<0,则对x∈(1，3)，f(1)最大 ，f(x)max=f(1)=a-2-2a>0a<-2.
(2)当a>0时，f(x)max=f(3)=7a-6>0a>67.于是，实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(67,+∞).
如果题目的条件不是A∩B≠
中国 ，而是BA，则就化为f(x)>0在区间(1，3)恒成立的问题了.
1.抓解集
对于恒成立问题，不等式的解集虽是一把双刃剑，它常会导致把不等式的解集与恒成立混为一谈的错误，但如能搞清它们之间的联系与区别，就能把解集作为恒成立求解的突破口.
例1 关于x的不等式x+(m+1)x+m<0在［0，9)上恒成立，求实数m的取值范围.
解析：原不等式等价于(x+1)(x+m)<0,
x≥0,即x<-m,
x≥0.当m≥0时，不等式解集为空集；当m<0时，原不等式解集为［0,m2)，当且仅当［0，9)［0,m2)且m<0时，原结论成立，即m2≥9且m<0，故m≤-3.
2.抓主元
在错综复杂的各种矛盾中，抓住了主要矛盾，就犹如抓住了一根主线，从而使次要矛盾迎刃而解.同样地在数学问题中，多变元的干扰，常会使学生思维的头绪，陷入众多繁复的岔道中，剪不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然.
例2 (2006•四川卷(文))已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的导函数，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0,求实数x的取值范围.
解析：它表面上是一个给出参数a的范围，解不等式g(x)<0的问题，事实并非如此.现把以x为变量的函数g(x)=3x2-ax+3a-5，改为以a为变量的函数，即以变量a为主元，令φ(a)=(3-x)a+3x2-5(-1≤a≤1)，则对-1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，从而转化为对-1≤a≤1,φ(a)<0恒成立问题，又由φ(a)是a的一次函数，问题就容易解决了，只需φ(1)<0,
φ(-1)<0,即
3x2-x-2<0,
3x2+x-8<0,解方程组得-23 3.抓△
二次不等式是不等式问题中一种最常见的题型，解决这类问题有很多方法，但万变不离其宗，其最根本的方法，还是利用二次式中的判别式△.
例3 若不等式-x2+2mx-2m-1<0,x∈［0，1］恒成立，求m的范围.
解析：不等式要求在x∈［0，1］时恒成立，所以△<0仅是一个充分条件.按判别式讨论，设f(x)=-x2+2mx-2m-1.
(1)△<0时，可解得1-2 (2)(Ⅰ)△≥0
f(0)<0
m<0或(Ⅱ)△≥0
f(1)<0
m>1解得-12-12.
4.抓分离
由函数极值思想可得，f(x)≥a恒成立a≤f(x)min;f(x)≤a恒成立a≥f(x)max.由此，此类问题可化归为求函数最值或值域的 问题，利用这种方法，关键是将参数与未知数进行分离，因此叫分离参数法.
例4 在△ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(π4+B2)+cos2B，且|f(B)-m|<2恒成立，求实数m的取值范围.
解析：由f(B)=2sinB［1-cos(π2+B)］+cos2B=2sinB+2sin2B+1-2sin2B=2sinB+1,∵0f(B)-2
m ∴m>1,
m≤3，即m∈(1，3］.
例5 (2000年日本大学入学试题)已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.
(1)若对任意的x∈［-3，3］，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(2)若对任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围.
解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,问题转化为F(x)≥0在x∈［-3，3］上恒成立，为此只需F(x)在［-3，3］上的最小值F(x)min≥0即可.∵F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),由F′(x)=0得x=2或x=-1.∴F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,∴F(x)min=k-45,由k-45≥0，解得k≥45.
(2)由题意可知，当x∈［-3，3］时，都有f(x)max≤g(x)min.由F′(x)=16x+16=0得x=-1.∵f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,∴f(x)max=120-k,又由g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-1或x=-23,∵g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,g(-23)=-2827,∴g(x)min=-21，则120-k≤-21，解得k≥141.
5.抓图形
数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非，在不等式恒成立问题中，如若一时难以找出突破口，常可联想到问题中涉及的函数图像，以形助数，也许会有意想不到的收获.
例6 已知a>0且a≠1，f(x)=x2-ax，当x∈(-1，1)时，有f(x)<12，试求实数a的取值范围.
解析：本题其实也是一个恒成立问题，即函数f(x)<12在区间x∈(-1，1)中恒成立.由f(x)=x2-ax<12得x2-121时，只有a≤2才能保证，而0 6.抓特征
不等式恒成立问题和不等式能成立问题，两者形似质异，抓住它们的条件特征，有利于准确解题.
例7 (2006全国卷Ⅱ文)设a∈R，二次函数f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集为A，B={x|1 解析：这是一个在不等式成立的前提下，求参数的范围问题.题目的要求与大部分见到的题并不相同，这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题，而本题却是一个不等式能成立的问题，因为题目的条件是只要集合A，B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)>0在区间(1，3)有解就可以，这等价于f(x)max>0,在x∈(1，3)成立.
(1)当a<0时，因为f(x)的图像的对称轴1a<0,则对x∈(1，3)，f(1)最大 ，f(x)max=f(1)=a-2-2a>0a<-2.
(2)当a>0时，f(x)max=f(3)=7a-6>0a>67.于是，实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(67,+∞).
如果题目的条件不是A∩B≠
中国 ，而是BA，则就化为f(x)>0在区间(1，3)恒成立的问题了.
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