摘 要：高中数学课堂教学应以数学核心素养为导向，立足于课本教材，充分挖掘课本例题、习题资源，培养学生的数学思维能力。注重逻辑推理，有较强的复杂运算能力，发散思维，以期面对新的高考、新的学习。
关键词：数学课本;核心素养;高考
高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。在学习了等差数列、等比数列的基本知识之后，再次翻开课本前面的内容，充分利用课本资源，适度拓展和延伸，激发学生的学习兴趣。文章先从一道课本例题谈起。
一、 课本例题
【例1】 （课本例3，文[2]第31页）：设数列{an}满足a1=1，an=1+1an-1（n>1）。
写出这个数列的前5项。
显然，按照递推公式，这里求解是机械的、容易的。已经学过的等差数列、等比数列的通项公式都可以看作是递推公式，那么例1有没有通项公式？如果有，怎样求解？
二、 不动点
（一）不动点的概念
设函数f（x），若f（α）=α，则称α是f（x）的不动点。
在数列{an}中，若an=f（αn-1）（n>1），α是f（x）的不动点，则称α是{an}的不动点。
（二）不动点与数列通项
关于函数不动点与数列通项公式之间的关联，通过简单的数学变换即可推证。与例1相关的结论表述如下：
设函数f（x）=ax+bx+c（a，b，c∈R，ac-b≠0）。数列{an}，若a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1），那么：
（1）若f（x）有两个不同的不动点α，β，则有
an+1-αan+1-β=k·an-αan-β，
其中k=a-αa-β ①
（2）若f（x）有唯一一个不动点α，则有
1an+1-α=1an-α+k，
其中k=2a+c ②
（3）若f（x）没有不动点，则数列{an}具有某种周期性。
实际上，上述结论的得到是容易的，可以引导学生示意性的推导，以期提高他们的运算推理能力，培养他们的探索创新能力。其他各种形式的不动点与数列通项公式的关联，无非就是an+1-α与an-α（α为不动点）的各种组合、变形，以期得到熟悉的等差、等比数列，进而求得其通项公式。
其实，（3）若f（x）没有不动点，那它必有两个不同的复数根，这样完全可以归结为（1）。甚至（1）中也可以只选一个不动点，变形处理即可。
三、 例1的通项公式
考虑f（x）=1+1x=x+1x，由f（x）=x得f（x）有两个不同的不动点α=1-52，β=1+52，又a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1）。
（一）用两个不动点
比照①式，
k=1-1-521-1+52=-3+52，
从而
an+1-1-52an+1-1+52=-3+52·an-1-52an-1+52，
这是一个新的等比数列，其中首项a1-1-52a1-1+52=1-1-521-1+52=-3+52，
于是
an-1-52an-1+52=-3+52·（-3+52）n-1，
解之
an=12·（1-5）n+1-（1+5）n+1（1-5）n-（1+5）n ③
（二）用一個不动点
现在选用一个不动点，作差处理。取α=1-52，
由an+1-1-52=an+1an-1-52=1+52·an-1-52an，
取倒数
1an+1-1-52=an1+52·an-1-52=5-32·1an-1-52+5-12。
这里涉及另一种类型的不动点，即f（x）=dx+e（d≠0，1），f（x）有不动点δ，则对应数列{bn}（bn=f（bn-1）（n>1）），有bn+1-δ=d（bn-δ），从而出现一个新的等比数列。
我们接着处理例1，有
1an+1-1-52-55=5-32·1an-1-52-55。
这里构造了一个新的等比数列，类似于3.1后半段，可以解出
an=1-52+5·22n22n+（-1）n-1·（1-5）2n ④
四、 例1的变式
【例2】 设数列{an}满足a1=2，an=2-1an-1（n>1）。
求数列{an}的通项公式。
考虑f（x）=2-1x=x，得数列{an}有唯一一个不动点1，比照②式即可求出an=1+1n。
【例3】 （课本习题2.1A组4（2），文[2]第33页）：写出数列{an}的前5项：a1=-14，an=1-1an-1（n>1）。
这个数列没有不动点（方程f（x）=1-1x=x无实数根），事实上由简单计算，a1=a4=-14，它具有周期性。
为了激发学生的兴趣，拓展学生的视野，可以对例1继续变式：写出数列{an}的前5项：a1=1，an=3an-1-7an-1-3（n>1）。易见数列{an}有两个不同的不动点，故可比照①式写出它的通项公式;很明显它还具有周期性（a1=a3=1）。
五、 教学启示
（一）用好课本，注重通解通法
用不动点处理数列的通项公式，课本中虽未提及，但它具有通解通法性，而且学生完全可以套搬套用。适当运用不动点，可以避免解题的盲目性、增强解题的方向感。有利于激发学生学习数学的兴趣，提高教师教学的实效性。技高不压人，常常会有意外的惊喜。
【例4】 （2019年高考浙江卷第10题）：设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=a2n+b，n∈N*。则（）
A. 当b=12时，a10>10
B. 当b=14时，a10>10
C. 当b=-2时，a10>10
D. 当b=-4时，a10>10
这是选择题的最后一题，应该算是压轴题。对于A选项，用估算、迭代的办法可以证明其真实性;本题如果从不动点的角度来考虑，它就变成了口算题！
考虑x=x2+b求出不动点，对于A选项，没有不动点;对于B选项，取不动点12，令a=12，則an=12<10;对于C选项，取不动点-1，令a=-1，则an=-1<10;对于D选项，取不动点1-172，令a=1-172，则an=1-172<10。
（二）适度拓展，关注后继学习
立根数学核心素养，应该充分利用好课本材料。课本在例1之后，给出了《阅读与思考》（文[2]第32页），介绍了历史上著名的Fibonacci数列{Fn}：
F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>2）
细心的学生会发现，例1的各项明显具有数列{Fn}的影子！事实上数列{Fn}亦有“不动点”1±52（其实是特征方程特征根，这里借用“不动点”名称），类似方法可以得到Fn=（1+5）n-（1-5）n5·2n，这是用无理数表示有理数的经典案例。这与例1的两个通项公式③、④何其相像。
如果沿着这个阅读材料继续走下去，美丽而神奇的数学大门会越开越大。比如limn→∞FnFn+1=5-12（黄金分割比）。
适度拓展，适时引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。有时一个小小的变式，毫厘之差，但却相差万里。比如数列{an}：an+1=2a2n-1，
若a1=13，则an=cos2n-1θ，（cosθ=13）;
若a1=3，则an=（3-22）2n-1+（3+22）2n-12。
关注学生的后继学习与发展，努力提升学生的数学思维、运算求解能力，培养他们良好的数学兴趣。立足课本，充分挖掘课本例题习题、阅读探究材料，有的放矢地进行课堂教学。数学的有趣，也许即在于此。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：2-3.
[2]人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书数学5必修（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007：31-33.
[3]伍胜健.数学分析（第一册）[M].北京：北京大学出版社，2009：28.
作者简介：
王永军，重庆市，重庆市广益中学校。
关键词：数学课本;核心素养;高考
高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。在学习了等差数列、等比数列的基本知识之后，再次翻开课本前面的内容，充分利用课本资源，适度拓展和延伸，激发学生的学习兴趣。文章先从一道课本例题谈起。
一、 课本例题
【例1】 （课本例3，文[2]第31页）：设数列{an}满足a1=1，an=1+1an-1（n>1）。
写出这个数列的前5项。
显然，按照递推公式，这里求解是机械的、容易的。已经学过的等差数列、等比数列的通项公式都可以看作是递推公式，那么例1有没有通项公式？如果有，怎样求解？
二、 不动点
（一）不动点的概念
设函数f（x），若f（α）=α，则称α是f（x）的不动点。
在数列{an}中，若an=f（αn-1）（n>1），α是f（x）的不动点，则称α是{an}的不动点。
（二）不动点与数列通项
关于函数不动点与数列通项公式之间的关联，通过简单的数学变换即可推证。与例1相关的结论表述如下：
设函数f（x）=ax+bx+c（a，b，c∈R，ac-b≠0）。数列{an}，若a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1），那么：
（1）若f（x）有两个不同的不动点α，β，则有
an+1-αan+1-β=k·an-αan-β，
其中k=a-αa-β ①
（2）若f（x）有唯一一个不动点α，则有
1an+1-α=1an-α+k，
其中k=2a+c ②
（3）若f（x）没有不动点，则数列{an}具有某种周期性。
实际上，上述结论的得到是容易的，可以引导学生示意性的推导，以期提高他们的运算推理能力，培养他们的探索创新能力。其他各种形式的不动点与数列通项公式的关联，无非就是an+1-α与an-α（α为不动点）的各种组合、变形，以期得到熟悉的等差、等比数列，进而求得其通项公式。
其实，（3）若f（x）没有不动点，那它必有两个不同的复数根，这样完全可以归结为（1）。甚至（1）中也可以只选一个不动点，变形处理即可。
三、 例1的通项公式
考虑f（x）=1+1x=x+1x，由f（x）=x得f（x）有两个不同的不动点α=1-52，β=1+52，又a1≠f（α1），an=f（αn-1）（n>1）。
（一）用两个不动点
比照①式，
k=1-1-521-1+52=-3+52，
从而
an+1-1-52an+1-1+52=-3+52·an-1-52an-1+52，
这是一个新的等比数列，其中首项a1-1-52a1-1+52=1-1-521-1+52=-3+52，
于是
an-1-52an-1+52=-3+52·（-3+52）n-1，
解之
an=12·（1-5）n+1-（1+5）n+1（1-5）n-（1+5）n ③
（二）用一個不动点
现在选用一个不动点，作差处理。取α=1-52，
由an+1-1-52=an+1an-1-52=1+52·an-1-52an，
取倒数
1an+1-1-52=an1+52·an-1-52=5-32·1an-1-52+5-12。
这里涉及另一种类型的不动点，即f（x）=dx+e（d≠0，1），f（x）有不动点δ，则对应数列{bn}（bn=f（bn-1）（n>1）），有bn+1-δ=d（bn-δ），从而出现一个新的等比数列。
我们接着处理例1，有
1an+1-1-52-55=5-32·1an-1-52-55。
这里构造了一个新的等比数列，类似于3.1后半段，可以解出
an=1-52+5·22n22n+（-1）n-1·（1-5）2n ④
四、 例1的变式
【例2】 设数列{an}满足a1=2，an=2-1an-1（n>1）。
求数列{an}的通项公式。
考虑f（x）=2-1x=x，得数列{an}有唯一一个不动点1，比照②式即可求出an=1+1n。
【例3】 （课本习题2.1A组4（2），文[2]第33页）：写出数列{an}的前5项：a1=-14，an=1-1an-1（n>1）。
这个数列没有不动点（方程f（x）=1-1x=x无实数根），事实上由简单计算，a1=a4=-14，它具有周期性。
为了激发学生的兴趣，拓展学生的视野，可以对例1继续变式：写出数列{an}的前5项：a1=1，an=3an-1-7an-1-3（n>1）。易见数列{an}有两个不同的不动点，故可比照①式写出它的通项公式;很明显它还具有周期性（a1=a3=1）。
五、 教学启示
（一）用好课本，注重通解通法
用不动点处理数列的通项公式，课本中虽未提及，但它具有通解通法性，而且学生完全可以套搬套用。适当运用不动点，可以避免解题的盲目性、增强解题的方向感。有利于激发学生学习数学的兴趣，提高教师教学的实效性。技高不压人，常常会有意外的惊喜。
【例4】 （2019年高考浙江卷第10题）：设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=a2n+b，n∈N*。则（）
A. 当b=12时，a10>10
B. 当b=14时，a10>10
C. 当b=-2时，a10>10
D. 当b=-4时，a10>10
这是选择题的最后一题，应该算是压轴题。对于A选项，用估算、迭代的办法可以证明其真实性;本题如果从不动点的角度来考虑，它就变成了口算题！
考虑x=x2+b求出不动点，对于A选项，没有不动点;对于B选项，取不动点12，令a=12，則an=12<10;对于C选项，取不动点-1，令a=-1，则an=-1<10;对于D选项，取不动点1-172，令a=1-172，则an=1-172<10。
（二）适度拓展，关注后继学习
立根数学核心素养，应该充分利用好课本材料。课本在例1之后，给出了《阅读与思考》（文[2]第32页），介绍了历史上著名的Fibonacci数列{Fn}：
F1=F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>2）
细心的学生会发现，例1的各项明显具有数列{Fn}的影子！事实上数列{Fn}亦有“不动点”1±52（其实是特征方程特征根，这里借用“不动点”名称），类似方法可以得到Fn=（1+5）n-（1-5）n5·2n，这是用无理数表示有理数的经典案例。这与例1的两个通项公式③、④何其相像。
如果沿着这个阅读材料继续走下去，美丽而神奇的数学大门会越开越大。比如limn→∞FnFn+1=5-12（黄金分割比）。
适度拓展，适时引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。有时一个小小的变式，毫厘之差，但却相差万里。比如数列{an}：an+1=2a2n-1，
若a1=13，则an=cos2n-1θ，（cosθ=13）;
若a1=3，则an=（3-22）2n-1+（3+22）2n-12。
关注学生的后继学习与发展，努力提升学生的数学思维、运算求解能力，培养他们良好的数学兴趣。立足课本，充分挖掘课本例题习题、阅读探究材料，有的放矢地进行课堂教学。数学的有趣，也许即在于此。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：2-3.
[2]人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书数学5必修（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007：31-33.
[3]伍胜健.数学分析（第一册）[M].北京：北京大学出版社，2009：28.
作者简介：
王永军，重庆市，重庆市广益中学校。
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